Поиск:
Гость
Присоединяйтесь к нашему чату на Telegram канале @LongShort

Оптимальное дельта-хеджирование для опционов. Часть 2.

04.04.2017 11:35 - Eduard Grigoryan - Опционы
Данные.
Мы используем данные из OptionMetrics. Это удобный источник данных для нашего исследования. Он обеспечивает ежедневные цены базового актива, цену закрытия по биду и офферу для опционов и параметры хеджирования, основанные на актуальной модели БШ. Мы также решили рассмотреть опционы на S&P500, S&P100, DowJones Industrial Average (DJIA, включающий 30 акций), отдельные акции, лежащие в основе DJIA и пять ETF. Активы, лежащие в основе трех ETF – это товары: золото (GLD), серебро (SLV), нефть (USO). Активы, лежащие в основе двух других ETF были индексом облигаций Казначейства США ( индекс Barclays) 20+ (TLT) и 7+ (IEF). Мы рассматриваем европейские опционы на S&P500 и DJIA, хотя в наш набор исследований включены как американские, так и европейские опционы на S&P100. Опционы по отдельным акциям, а также по ETF – американские. Период, охватываемый данными, которые мы использовали — с 2 января 2004 года по 31 августа 2015 год, за исключением товарных ETF, когда данные были впервые доступны с 2008 года. Это гораздо более длительный период, чем те данные, которые испольуют другие исследователи. В процессе работы с данными были сохранены только котировки опционов, для которых были доступны bid, offer, IV, дельта, гамма, вега и тетта. Набор данных по опционам был отсортирован для создания наблюдений по одному и тому же опциону в течение двух последовательных торговых дней. Для каждой пары наблюдений данные были нормализованы, так что первоначальная цена на первый из двух дней была равна единице. Опционы с экспирацией менее чем 14 дней были убраны из набора данных. Опционы колл для которых дельта по БШ была меньше 0.05 или больше 0.95 были удалены, также как и опционы пут, дельта по БШ по которым была меньше -0.95 и больше 0.05. Для опционам по отдельным акциям в дополнение к выше обозначенным фильтрам, были удалены дни, когда произошли разрывы по акциям.

После всей фильтрации остается более 1.3 млн. цен как для коллов, так и путов на S&P500, около 0.5 млн. наблюдений для других индексов и ETF и около 200 тыс. наблюдений для опционов по каждой отдельной акции индекса DJIA. Объем торгов по путам S&P500 намного выше, чем по коллам. Это связано с тем, что бид-оффер спред для путов на S&P500 меньше, чем для коллов, зак исключением случаев с опционам глубоко «в деньгах», где спреды примерно одинаковы. Для других индексов путы и коллы торгуются примерно в равных объемах. Коллы торгуются более активно, чем путы для отдельных акций. Торговля имеет тенденцию концентрироваться вокруг опционов «около денег» и опционов «вне денег». Одной из примечательных особенностей является то, что торговля опционами «около денег» особенно популярна. Большинство опционов имеет сроки экспирации менее чем 91 день.

Основная теория.

Как изначально говорилось в модели БШ цена базового актива следует диффузионному процессу (винеровскому) с постоянной волатильностью. Многие альтернативы БШ были разработаны в попытке объяснить стоимость опционов, которые наблюдаются на практике. Они включают стохастическую волатильность, скачки цен на активы или волатильность, наприятие риска и так далее (а также mean reversion процессы. Смотрите например, модели Хестона, Бейтса, модель Орнштейна-Уленбека — прим. переводчика). Отступление от классической модели БШ, как правило, снижает эффективность хеджирования дельты. Например, исследование Sepp в 2012 году показывает, что это относится к mixed-jump diffusion model, а некоторые из ранее упомянутых документов показывают, что это справедливо для большинства стохастических моделей. В этом разделе мы приводим теоретический результат для определения дельты MV из дельты БШ. Результат использует подразумеваемую волатильность и правилен с минимальной ошибкой для диффузиозных процессах, будучи приближением в случае других моделей. (Автор не пытается построить свою IV, а предлагает работать с тем, что есть на рынке, считая вытащенную IV примерно усредненной оценкой всех различных практических моделей. - прим. переводчика).

Так, мы показываем в Приложении А, что приблизительно верно следующее утверждение:

>

где fBS это функция ценообразования БШ, imp — подразумеваемая волатильность, vBS – это рассчитанная вега по БШ, и E(imp) — ожидаемое значение подразумеваемой волатильности как функции от S. (То, что актуально для S&P500 может не годиться для нашего рынка, поэтому я приведу порядок расчета из Приложения А — прим. переводчика).

Другие авторы, в том числе и Alexander et al (2012) изучили эффективность различных оценок ∂E(imp)/∂S при определении минимальной дельта-дисперсии (Что безусловно надо делать при анализе применимости модели к рынку — прим. переводчика). В дальнейшем мы оцениваем эту функцию эмпирически, а затем проводим проверку на тестовой выборке эффективности выбранной функции.

При представлении наших результатов, мы определяем эффективность хеджирования как процентное сокращение суммы квадратов ошибок (SSE), возникающих в процессе хеджирования. Мы обозначим GAIN как увеличение эффективности хеджирования MV над эффективностью хеджирования БШ. Таким образом:



где SSE обозначает сумму квадратов ошибок. Использование стандартного отклонения вместо SSE приведет к аналогической мере, но коэффициент GAIN будет численно меньше.

Optimal Delta Hedging for Options
John Hull and Alan White
Понравилась статья? Перепост приветствуется!

Ваш комментарий:

Комментарии (последние вверху):

X

Вход

Email:
Password:
 

Восстановить пароль

Email: